Дифференциальные уравнения в экономике
Изучение рыночных процессов является основой экономического анализа, направленного на раскрытие сложной динамики предложения, спроса, цен и распределения в различных экономических условиях. Традиционно экономические теории полагались на качественный анализ и статистические методы для понимания поведения рынка. Однако растущая сложность современной экономики и доступность обширных наборов данных побудили экономистов обратиться к более количественным и формальным подходам, таким как математическое моделирование.
Одним из мощных инструментов в этом отношении являются дифференциальные уравнения. Они предоставляют систематическую основу для построения математических моделей, описывающих динамические взаимозависимости между различными экономическими факторами. Моделируя различные сценарии с помощью дифференциальных уравнений, экономисты могут оценивать последствия различных экономических политик и событий.
Рассмотрим модели процессов, в которых возникает необходимость использования теории дифференциальных уравнений с разделяющимися и разделёнными переменными. К задачам такого типа относятся, например, задачи об эффективности рекламы, изменении численности населения, зависимость спроса или предложения от цены товара, зависимость функции спроса от эластичности, истощение ресурсов Земли или рост населения, рост денежного вклада в банке и другие.
Пример 1. Эффективность рекламы
Фирма подготовила для реализации новый продукт. Для его продвижения была проведена рекламная компания, в результате которой о новинке из 10 тыс. потенциальных покупателей узнали 2 тыс.500 человек. После этого сведения о новом товаре распространяются с помощью передачи информации от одного человека к другому. Обозначим через x(t) число покупателей, знающих о новинке в момент времени t. Изменение этой величины будет пропорционально как числу покупателей, знающих о новинке, так и не знающих о ней, а также промежутку времени dt, за который это изменение происходит, то есть dx = kx(n – x)dt, где п – общее число потенциальных покупателей новинки (в нашем случае п = 10000), k – коэффициент пропорциональности (будем считать, что k = 2?10-6 чел./день), n – x – число покупателей, не знающих о новинке (n – x = 10000 – 2500 = 7500) Используя уравнение логистической кривой [3], получим зависимость x(t) с учетом данных нашей задачи:
Предположим, что t = 20 дней, тогда x(20) = 3321, т.е. за 20 дней о новинке будут знать приблизительно 3321 покупатель.
Допустим теперь, что t = 30, тогда о новинке будут знать приблизительно x(20) = 3778 покупателей. Таким образом, за 30 дней о новинке будут знать 6278 человек.
Пример 2. Прогнозирование
Известно, что в экономике с помощью уравнения y'(t) = k⋅y(t) описываются рост населения в некоторой местности, динамика роста цен при постоянной инфляции, процесс распространения рекламы, эпидемии гриппа, ковида и др.
Задача. Выяснить, по истечении какого промежутка времени объем реализованной продукции удвоится по сравнению с первоначальным, если значение коэффициента пропорциональности k в уравнении y'(t) = k⋅y(t) равно 0,1. Насколько процентов следует увеличить норму инвестиций, чтобы промежуток времени, необходимый для удвоения объема реализованной продукции, уменьшился на 20%?
Решение. Решение задачи Коши для уравнения y'(t) = k⋅y(t) имеет вид y(t) = y0⋅e^(kt-t0). По условию задачи имеем:
y(t) = y0⋅e^(kt-t0), t0 = 0; k = 0,1; y = 2y0.
Тогда 2y0 = y0⋅e^(0,1t), 2 = e^(0,1t) отсюда находим t ≈ 6,93.
Теперь, полагая t1 = 0,8t, получаем k1 = k/0,8 = 1,25k. Таким образом, примерно через 7 ед. времени норму инвестиций следует увеличить на 25%.
Пример 3. Равновесная цена в модели Вальраса
Рассмотрим процесс, в ходе которого предложение и спрос уравновешиваются. Предполагается, что при любой цене, если спрос превышает предложение, то цена будет расти, если предложение превышает спрос, то цена будет падать. Обозначим цену через p, величины спроса и предложения, соответственно, через D(p,α), S(p), α — параметр, соответствующий экзогенным (внешним) факторам. Тогда изменение цены при изменении времени t можно описать следующим соотношением:
dp/dt = D(p, α) - S(p).
Что можно увидеть из этого соотношения? Например, поставим вопрос о том, существует ли равновесная цена, не изменяющаяся со временем? Ее следует определять из условия
dp/dt = 0,
откуда
D(p, α) - S(p) = 0.
Пусть p0 есть решение данного уравнения. Разложим правую часть D(p, α) - S(p) в окрестности значения p = p0, тогда изменение цены p при малом отклонении от равновесной цены p = p0 будет определяться уравнением
dp/dt = (Dp - Sp)(p - p0),
где опущены слагаемые выше первой степени величины (p - p0) и обозначено:
Dp = ∂D(p, α) / ∂p |p=p0,
Sp = ∂S(p) / ∂p |p=p0.
Решение последнего уравнения дается выражением
p(t) = p0 + [p(0) - p0] exp[(Dp - Sp)t].
Пусть (Dp - Sp) 0. Тогда, если начальная цена p(0) отличалась от равновесной p0, то при t → ∞ имеет место предел p(t) → p0, т.е. в процессе обращения товара на рынке его цена будет приближаться к равновесной цене. В этом случае можно сказать, что равновесная цена устойчива. Очевидно, с увеличением цены падает спрос (Dp 0) и увеличивается предложение, т.е.
Sp 0. В этих условиях существует равновесная цена. Данная модель предсказывает рост предложения при росте спроса на данный товар, выраженного в виде роста цены на товар.
Если (Dp - Sp) 0, то цена p(t) будет отклоняться от равновесной в ту или другую сторону. В этом случае равновесная цена неустойчива. В соответствии с положениями экономической теории, при неустойчивой цене данная модель не дает разумных предсказаний.
Так, дифференциальные уравнения помогают создавать комплексные модели, которые могут учитывать множество переменных и факторов, влияющих на экономические процессы, и тем самым повышают точность и надежность экономических прогнозов и рекомендаций, базирующихся на результатах моделирования. Это обеспечивает более глубокое и всестороннее понимание экономических процессов и явлений, что в целом способствует повышению эффективности экономического планирования и управления.
Заключение
Дифференциальные уравнения являются мощным инструментом в руках экономистов и аналитиков, позволяя создавать сложные и реалистичные модели экономических процессов и явлений, а также анализировать и прогнозировать их динамику для эффективного принятия экономических и управленческих решений.
Источники
- Жураева Гулшан Турдиевна. Применение методов дифференциальных уравнений для решения задач из курса экономики. URL: https://bestpublication.org/index.php/iq/article/view/1962/1848
- Журнал Научное обозрение. Педагогические науки. – 2019. – № 4 (часть 3) – С. 60-63
- Розыев А.И., Розыев И. Математическое моделирование динамики рыночных процессов с использованием дифференциальных уравнений в экономике// Всемирный ученый. 2024. №24. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskoe-modelirovanie-dinamiki-rynochnyh-protsessov-s-ispolzovaniem-differentsialnyh-uravneniy-v-ekonomike
- Шаповалов А.В. Дифференциальные уравнения в экономических моделях. Томск: НИ ТПУ, 2016.
Автор: Диана Миназова, ГБОУ ВО «Альметьевский государственный нефтяной институт», Научный руководитель: Мельникова Э. Ф.
