Тригонометрические функции

Один из разделов школьного курса "Алгебры и начал анализа", который часто вызывает трудности у учащихся, - это тема "Тригонометрические функции". Между тем, тригонометрические функции представляют собой наглядный и удобный инструмент для исследования свойств функций до введения понятия производной, в частности, такого важного свойства, как периодичность, характерного для многих природных процессов. Поэтому изучению тригонометрических функций следует уделять пристальное внимание. Именно эти факторы обусловливают актуальность выбранной темы для данной работы.

Тригонометрические функции берут свое начало из изучения прямоугольных треугольников, где они выражали зависимость между сторонами треугольника и его острыми углами при данной гипотенузе. Со временем определение тригонометрических функций было расширено, и их аргументами могут быть любые вещественные или даже комплексные числа. Эти элементарные функции нашли широкое применение в различных областях науки. Наука, исследующая свойства тригонометрических функций, получила название тригонометрии. По сути, тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол, позволяющие описывать соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Сферы применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны.

Любой процесс можно выразить в виде суммы тригонометрических функций. Эти функции появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

Геометрическое определение тригонометрических функций можно легко представить на при мере единичной окружности.

На рисунке изображена окружность радиуса r = 1. На окружности нарисована точка M (x, y). Угол между радиус-вектором OM и направлением оси O x равен a.

Синус угла α — это отношение ординаты y точки M (x, y) к радиусу r: sin α = y/r. Поскольку r = 1,синус равен ординате точки M (x,y).

Косинус угла α — это отношение абсциссы x точки M (x,y) к радиусу r: cos α = x/r = x.

Тангенс угла α — это отношение вертикальной оси y и радиуса r точки M (x,y):

cos α = x/r = x.

Отношение оси M (x,y) к абсциссе x: tg α = y/x, x ≠ 0.

Котангенс угла α — это отношение точки M (x,y) к ее абсциссе x.

Отношение абсциссы x точки M (x, y) к ее ординате y: ctg α = x/y, y ≠ 0.

В единичном круге x, y точка M (x, y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник с большими сторонами x,y и малыми сторонам и r. Таким образом, определение тригонометрических функций, применимых к прямоугольному треугольнику, формулируется следующим образом:

Синус угла α — это отношение противоположной гипотенузы к гипотенузе.
Косинус угла α — это отношение соседних косых сторон к косой стороне.
Тангенс угла α — это отношение противоположной косой граник соседней косой грани.
Котангенс угла α — это отношение соседнего катета к противоположному катету.

К тригонометрическим функциям относятся, прежде всего, прямые тригонометрические функции: синус (sin x), косинус (cos x).

Обратные тригонометрические функции

Во-вторых, существуют обратные тригонометрические функции:

секанс (sec x); cosec (cosec x);

Производные тригонометрических функций

И в-третьих, это производные тригонометрических функций:

тангенс (tg x); котангенс (ctg x).

Каждому вещественном уx соответствует одна точка единичного круга, полученная поворотом точки (1;0) на угол x радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Другими словами, функции y=sin x и y =cos x определены на множестве R всех действительных чисел.

Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Функция y = tg x задается формулой y = tg x = sin x/cos x. Эта функция определяется значением x, для которого cos x ≠ 0. Известно, что при x = π/2 + πn, n Є Z, cos x = 0.

Таким образом,областью функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πn, n@Z.

Так как уравнение tg x = a имеет корни при любом допустим ом значении a, то множество значений функции y = tg x — это множество R всех допустимых чисел.

Пример 1:

Решите уравнение: a) sin x = 1/2